Sistemas de Ecuaciones Lineales

Conceptos Iniciales

Se tiene un sistema de ecuaciones cuadrado ( n  = m ) de la forma

                        a₁₁ x₁ + a₁₂ x ₂ + . . .  + a _1n  x_n  =  b₁

                        a₂₁ x₁ + a₂₂ x ₂ + . . .  + a _2n  x_n  =  b₂

   a₃₁ x₁ + a₃₂ x ₂ + . . .  + a _3n  x_n  =  b₃

                        .

                        .

a_m1 x₁ + a_m2 x ₂ + . . .  + a _{m n}  x_n  =  b_m

Representado en el sistema matricial

                        A X = B

Métodos Iterativos

Se parte de una aproximación inicial a la solución del sistema, y leugo se va generando nuevas aproximaciones que serán cada vez mejores si se cumplen ciertas condiciones.

Método de Jacobi

Sea A X = B un sistema de n ecuaciones. El sistema es cuadrado y de solución  única. El sistema se puede escribir de la siguiente manera

                                   X =  M  X  + C

Con el siguiente procedimiento

Sea X ⁽⁰⁾  una aproximación inicial a la solución del sistema

Sea k = 1

DO WHILE  no se cumpla la condición de parada

            X ^(k)  = M  X ^{(k – 1 0)}  +  C

            Incrementar k

END

Ejemplo

a)         10x1 –   x2  + 2x3  =      6     

                x1 – 5x2  +   x3  = – 10  

                   2x1  –   x2  + 8x3  = –    8

b)          10x1 +   8x2  –    7x3  =  –   3         

 –3x1 + 10x2  +     x3   =  – 25  

                    5x1   –    x2  +  10x3  =     22

c)            4x1 –   3x2  +   5x3   =  25  

  3x1 +   2x2  +   2x3   =  11  

  4x1 –   2x2  +   3x3   =   –4 

Convergencia del método

No siempre el método da una sucesión convergente hacia la solución del sistema. Para esto se utiliza un factor de convergencia

Factor de Convergencia

Sea el sistema  X = M X + C . Se llamará factor de convergencia de M para el método de Jacobi al número  a definido por

                           a  =  máx S | m _{i j} |                          ;           j : 1, n

                                   0          0.1       – 0.2

                        M =     0.2       0             0.2

                                 – 0.25     0.125      0      

Para i = 1 máx S | m _{i j} |  =  0 + 0.1  + 0.2 = 0.3

Para i = 2 máx S | m _{i j} |  =  0.2 + 0  + 0.2 = 0.4

Para i = 3 máx S | m _{i j} |  =  0.25 + 0.125  + 0 = 0.375

Por lo tanto

                           a  =  máx S | m _{i j} |   = máx { 0.3, 0.4, 0.375 } = 0.4

Ejemplo 2

            0          –0.8       0.7

M =     0.3         0        –0.1

                                – 0.5          0.1        0

Por lo tanto

                           a  =  máx S | m _{i j} |   = máx { 1.5, 0.4, 0.6 } = 1.5

Teorema

Sea el sistema cuadrado AX = B. Una condición suficiente para que el método de Jacobi sea convergente para el sistema, es que A tenga la diagonal predominante.

| a ii | > | ai1 |  + | ai2 | + . . .  + | a in |

es decir

| m i1| + | m i2 | +  . . . + | m i n | < 1

lo cual significa que

  a   < 1

Criterio de Parada

Para obtener la solución de un sistema lineal  X = M X +  C mediante el método de Jacobi con error absoluto menor que  E. El proceso iterativo se debe detener  en la aproximación X ^(k)  para la cual

                                   [a   / ( 1 - a ) ] d  ^(k)  £ E

donde

                                    d  ^(k)  = máx {  | d i ^(k)  | }

                                   d = | X ^(k)  - X ^{(k- 1 )}  |

d  ^(k)  £   E *  [ ( 1  -   a )  /  a  ]